Решение покерных задач, часть 4
Задача 16
У нас две карты одной масти. Какова вероятность, что на флопе мы купим флеш-дро (но не флеш)?
Решение
Предположим, у нас 5 пик 9 пик. На флопе нам нужны две карты пиковой масти и одна карта непика. Обозначим эту карту как X. Существует три варианта такого флопа:
X пик пик пик X пик пик X пик
Очевидно, что эти события равновероятны, поэтому нам достаточно найти вероятность одного из них. Возьмем вариант пик пик X.
Итак, первой картой нам должна прийти пика, карт пиковой масти в колоде сейчас 11 из оставшихся 50 карт. Вероятность прихода пики: Р = 11/50.
Следующей картой опять должна прийти пика, но теперь в колоде осталось только 10 пик из оставшихся 49 карт. Вероятность этого события: Р = 10/49.
Третьей картой должна прийти карта непиковой масти. В колоде их осталось 39, а всего карт осталось 48. Вероятность этого: Р = 39/48.
По правилу логического умножения вычисляем вероятность выпадения варианта пик пик X:
Р=11/50х 10/49×39/48.
Поскольку у нас три варианта, то умножаем эту цифру на три:
Р = 11/50 х 10/49 х 39/48 х 3 = 429/3920 пик 0,11 = 11%.
Итак, вероятность купить на флопе дро-флеш составляет 11 %.
Задача 17
Мы играем за гипертайтовым и гиперагрессивным столом. Это означает, что все присутствующие за столом играют только на двух тузах. Другими словами, когда кому-либо из игроков приходят два туза, он делает рейз — олл-ин. Во всех остальных случаях игроки уходят в пас. Блайнды за столом: 1-2 фишки. Стол на 10 человек. Какова оптимальная стратегия игры за этим столом и каково математическое ожидание нашей игры по этой стратегии?
Решение
Очевидно, что за таким столом мы должны повышать ставку на любой руке. Чаще всего соперники будут уходить в пас, и тогда мы просто заберем блайнды. Конечно, у кого-то из оппонентов могут оказаться два туза и мы проиграем свою ставку, но это будет происходить очень редко. Для того чтобы уменьшить наши потери в этом случае, мы будем всегда делать минимальный рейз — ставить 4 фишки.
Итак, в любой позиции (в том числе и на блайндах) мы повышаем ставку до 4 фишек.
Это и есть оптимальная стратегия. Каково же наше МО при этой стратегии?
Понятно, что мы будем проигрывать только в тех случаях, когда у кого-то будут тузы. Как часто это будет происходить? Из предыдущих задач мы знаем, что два туза приходят с вероятностью 1/221. Но поскольку за столом, кроме нас еще девять человек, то эта вероятность увеличивается в девять раз: Р = 9/221.
Стало быть, девять раз из 221 мы будем проигрывать. В остальных случаях мы будем выигрывать — это 212 раз. Полная группа событий (ПГС, раньше я думал что пгс это только факультет!), таким образом, составляет 221 раздачу. Подсчитаем наш баланс за полную группу событий.
- 212 раз мы выиграем блайнды, т.е. 3 фишки. Наш доход составит 212 х 3 = 636 фишек.
- Девять раз мы проиграем свою ставку, т.е. 4 фишки (наш минимальный рейз). Наши потери составят 9 х 4 = 36 фишек.
Баланс: 636 - 36 = 600 фишек за 221 раздачу: МО = Баланс/ПГС = 600/221 = 2,7 фишек.
Столько (2,7 фишек) мы будем в среднем выигрывать за 1 раздачу.
На самом деле это упрощенное и не совсем корректное решение данной задачи. Попробуйте решить ее точнее, учитывая все скрытые нюансы. Надеемся, вам будет интересно.
Задача 18
Мы играем за гиперлузовым и гиперагрессивным столом. Это означает, что все игроки входят в игру на любой карте, причем сразу же ставят олл-ин. Блайнды: 1-2, стол 10 человек, у каждого по 100 фишек. Какова оптимальная стратегия игры за данным столом и чему равно МО при этой стратегии?
Решение
На самом деле ответ на первый вопрос довольно сложен. Он сводится к тому, что мы должны решить, на какой руке войдем в игру, а фактически — в олл-ин. Если мы решимся играть на какой-либо руке, то нам придется выставить до флопа все свои деньги.
Итак, мы выставим 100 фишек в банк, в котором уже стоит или сейчас окажется 900 фишек (все остальные тоже вошли или пойдут в олл-ин). Наши шансы к банку: 1 к 9. Для того чтобы наша игра была положительной, необходимо, чтобы шансы на выигрыш были не хуже, чем 1 к 9.
Иначе говоря, мы один раз выигрываем, а девять раз проигрываем. Следовательно, наши шансы на победу должны быть более чем 10% (10%— выигрыш, 90% — проигрыш). Фактически нам необходимо найти все руки, которые имеют больше 10% на победу при игре против девяти оппонентов с произвольными руками. Вручную такую задачу не решить. Мы должны использовать специальные покерные калькуляторы.
Очевидно, два туза нам подходят. И действительно, расчет показывает, что против девяти оппонентов два туза имеют 31% на победу. Не будем перечислять здесь все руки, которые нам подходят, — их довольно много. Попробуйте сделать это самостоятельно.
Немного упростим задачу и рассмотрим стратегию игры только на двух тузах.
Два туза придут нам в среднем один раз из 221 раздачи, т.е. 220 раз мы будем выбрасывать карты в пас. Полная группа событий — 221 раздача.
Подсчитаем наш баланс.
Вначале определим наши потери. Очевидно, что пока мы будем пасовать, мы потеряем какие-то деньги на блайндах. За один круг (10 раздач) мы теряем один большой и один малый блайнд — т.е. всего 3 фишки. За 220 раздач мы отыграем 22 круга. Итак, наш расход составляет 22 х 3 = 66 фишек.
Наконец, на 221-й раздаче нам придут тузы, и мы войдем в олл-ин. Но мы не всегда будем в этом случае выигрывать. Мы же помним, что наш шанс победить в этой ситуации составляет 31%: мы выиграем 900 фишек с вероятностью 31 % и проиграем свой стек (100 фишек) с вероятностью 69%. Наш доход:
900×0,31 - 100×0,69 =279-69 = 210 фишки.
Подсчитаем наш баланс:
Баланс = 210 - 66 = 144 фишек за 221 раздачу.
МО = 144/221 =0,7 фишки.
Столько (0,7 фишки) мы будем в среднем выигрывать за одну раздачу.
И снова данное решение приблизительное и не совсем корректное. Попробуйте решить задачу более точно.
Задача 19
Мы играем с “маньяком”, т.е. с оппонентом, который делает рейз абсолютно на любой карте. У нас и у нашего оппонента по 20 фишек. Нам раздали двух тузов, наше слово первое. Мы делаем ставку в размере 5 фишек. Оппонент играет рейз и ставит всего 15 фишек. Мы, не долго думая, идем в олл-ин, т.е. ставим в банк все оставшиеся фишки. Вопрос — что для нас выгоднее — чтобы оппонент заколлировал или ушел в пас?
Решение
Для решения задачи нам понадобится программа Рокег-stove. Заложив в нее наши руки, мы выясним, что против произвольной руки при игре один на один два туза имеют 85% на победу. Иными словами, мы выиграем 85 раз из 100, и соответственно 15 раз из 100 — проиграем.
Подсчитаем теперь математическое ожидание для обоих вариантов.
♣ Вариант 1. Соперник уходит в пас.
Сейчас в банке 35 фишек: 20 наших и 15 нашего оппонента. Если он уйдет в пас, мы просто заберем эти деньги, т.е. гарантированно и без риска выиграем 15 фишек.
Соответственно МО= 15 фишек.
♣ Вариант 2. Оппонент коллирует, т.е. добавляет в банк еще 5 фишек.
Таким образом, в банке сейчас оказывается 40 фишек.
85 раз мы выиграем этот банк, т.е. выиграем 20 фишек, поставленные в банк оппонентом. Однако 15 раз из 100 банк выиграет наш оппонент, т.е. уже мы проиграем свои 20 фишек.
Баланс за 100 раздач:
85 х 20- 15 х 20 = 1700-300= 1400 фишек. МО = 1400/100 = 14 фишек.
Как мы видим, математическое ожидание в первом варианте больше, чем во втором.
Значит, для нас выгоднее, чтобы оппонент ушел в пас.
Этот пример иллюстрирует одну важную идею: даже если у нас два туза, мы не всегда хотим получить колл от оппонента. В конечном счете, два туза — это всего лишь высшая пара. Кроме этого приятного факта, в игре присутствуют и другие параметры, которые определяют ситуацию и наши действия в ней.
Продолжение следует…