Логическое сложение в покере

Следующим важным понятием для нас будет логическое сложение, так называемое логическое “или”. Слово “или” является ключевым, и если мы встретим его в условии задачи, то речь, скорее всего, пойдет о логическом сложении.

Вероятность Р(А+В) суммы событий А и В равна:

Р(А+В) =- Р(А) + Р(В) — Р(АВ). (1.4)

Как и при логическом умножении, формулу (1.4) можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, вероятность суммы трех событий А, В и С:

Р(А+В+С) ‘а Р(А) + Р(В) + P(Q — Р(АВ) — Р(АС) — Р(ВС) + P(ABQ).

ЕСЛИ события А и В независимы, то формула (1.4) имеет следующий вид:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) — Р(А) х Р(В). (1.4.1)

Если же события А и В зависимы, то формула выглядит таким образом:

Р(А+В) — Р(А) + Р(В) — Р(А) х Р(В/А). (1.4.2)

Здесь Р(В/А) — это условная вероятность, т.е. вероятность того, что событие В произойдет при условии, что событие А уже произошло.

Самое важное в этих формулах то, что, оказывается, недостаточно сложить вероятности наступления отдельных событий, поскольку во всех этих случаях присутствуют дополнительные слагаемые. Как правило, в формуле (1.4) дополнительное слагаемое Р(АВ) намного меньше предыдущих и не сильно влияет на общий результат. Тем не менее, необходимо принимать его во внимание, если мы хотим получить точный ответ.

Обычно в реальной игре, если нам нужно быстро оценить вероятность, мы просто складываем первые два слагаемых Р(А) + Р(В) и получаем приблизительный ответ. В большинстве случаев этого достаточно для принятия правильного решения. В условиях же домашнего анализа мы должны стремиться получить точный результат. Это необходимо и для лучшего понимания покера, и для оценки размера погрешности примерного вычисления. В дальнейшем мы рекомендуем заучить наизусть многие значения вероятностей, что избавит вас от подсчетов в большинстве стандартных ситуаций. В случае нестандартной ситуации мы быстро подсчитываем нужные нам цифры приблизительно:

Поэтому для успешной игры необходимо

1) запоминание множества значений вероятностей для стандартных покерных ситуаций;
2) умение быстро оценить значение вероятности в нестандартной покерной ситуации, хотя бы приблизительно.

Задача №13

Мы бросаем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного орла?
Опять мы имеем дело с двумя событиями. Вероятность того, что первая монета упадет орлом Р = 1/2. Вероятность того, что вторая монета упадет орлом, также равна 1/2.
Подставляем эти значения в формулу:

Р = 1/2 +1/2 — 1/2 х 1/2 = 1 — 1/4 = 3/4

Если мы выпишем все варианты (полную группу событий), то получим такой же ответ:
1) о р
2) о о
3) р о
4) р р
Всего у нас четыре варианта. Нас устраивают варианты 1, 2 и 3.
Иными словами, Р = 3/4.

Задача №14

Наши карты: 4 треф 5 треф .
На флопе: А треф, К треф 9 чирвей.
У противника: А пик Q бубей.
Какова вероятность того, что мы поймаем флеш на терне или на ривере?

Ключевое слово — “или”, т.е. нам нужно применить логическое сложение.
Вероятность поймать флеш на терне равна 9/45 (в колоде осталось девять треф из 45 карт). Вероятность поймать флеш на ривере такая же (так как мы не знаем, какая карта придет на терн, то мы никак ее не учитываем).

В данном случае события зависимы. Если на терн придет трефа, то вероятность купить трефу на ривере уменьшится. И наоборот, если на терн не придет трефа, то вероятность купить трефу на ривере увеличится.

Значит, мы должны воспользоваться формулой (1.4.2): Р(А+В) = Р(А) + Р(В) — Р(А) х Р(В/А).

Здесь Р(В/А) — это вероятность того, что трефа придет на ривере при условии, что на терн трефа уже пришла. Подсчитаем ее. После прихода трефы на терн в колоде останется только восемь треф из оставшихся 44 карт. Поэтому:
Р(В/А) = 8/44. Таким образом, вероятность поймать флеш: Р = 9/45 + 9/45 — 9/45 х 8/44 = 2/5 — 2/55 = 4/11.

В ряде задач удобнее искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположно¬го ему, что значительно упрощает вычисления. Введем еще одно понятие.

Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать (А). Таким образом, событие (А) заключается в том, что событие А не произошло.
Сумма вероятностей противоположных событий
равна 1:

Р(А) + Р(А)=1. (1.5)

Задача №15

Бросаем два кубика. Какова вероятность выпадения хотя бы одной шестерки?
Вероятность выпадения шестерки на первом кубике 1/6. На втором также 1/6.
Складываем по формуле сложения вероятностей: Р= 1/6+1/6- 1/6 х 1/6 = 1/3 — 1/36 = 11/36.

Это было стандартное решение, попробуем решить эту же задачу, используя понятие противоположных событий и формулу (1.5).

Событие, противоположное тому, о котором нас спрашивают в условии, состоит в том, что на двух ку¬биках не выпадет ни одна шестерка. Вероятность того, что шестерка не выпадет на первом кубике, как это следует из формулы (1.5), равна:
Р(А1)= 1 — 1/6 = 5/6.

Такова же и вероятность невыпадения шестерки на втором кубике.
Р(А2) =1 — 1 /6 = 5/6.
Перемножая, находим вероятность невыпадения шестерки ни на одном из кубиков:
Р(А1) х Р(А2) = 5/6 х 5/6 = 25/36.
Последним шагом находим вероятность противоположного события, т.е. выпадения хотя бы одной шестерки:
Р — 1 — Р(А1) х Р(А2) = 1 — 25/36 = 11/36. Ответ аналогичен.

Задача №16

Какова вероятность того, что при раздаче карт в Техасском Холдеме вы получите хотя бы одного туза?

Вероятность того, что первая пришедшая вам карта окажется тузом, равна 4/52 (в колоде 52 карты, из них четыре туза). Вероятность того, что вторая карта окажется тузом, также 4/52. (Обратите внимание, что мы не говорим, что в колоде теперь осталась 51 карта; ведь мы не знаем, первая карта — туз или нет, поэтому в колоде по-прежнему 52 неизвестные карты.-)

Итак, Р(А) = 4/52, Р(В) = 4/52.
По формуле логического сложения
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).

Снова мы имеем дело с зависимыми событиями. Очевидно, что вероятность прихода туза второй картой принципиально зависит от того, какая карта пришла первой — туз или не туз.

Значит, в данном случае мы должны воспользоваться формулой (1.4.2):
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) — Р(А) х Р(В/А).

В данном случае Р(В/А) — это вероятность прихода туза второй картой при условии, что первой картой уже пришел туз. Подсчитаем ее.

Итак, если первой картой уже вышел туз, то в колоде осталось всего три туза из 51 карты. Значит Р(В/А) = 3/51. Тогда:
Р(А+В) = 4/52 + 4/52 — 4/52 х 3/51 = 2/13 -1/221 = 33/221 = 1/7.

Хотя бы одного туза вы увидите примерно один раз из семи.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *